دانلود نمونه سوالات ریاضی دبیرستان الگوی خطی و انواع دنباله حسابی و هندسی – ریاضی 20

» الگوی خطی و انواع دنباله حسابی و هندسی

خانه » آموزش ریاضی دهم » الگوی خطی و انواع دنباله حسابی و هندسی

الگوی خطی و انواع دنباله حسابی و هندسی

دُنباله، تابعی است با دامنه ای ازاعداد طبیعی. این توابع، کاربردهای فراوانی در حساب دیفرانسیل و انتگرال و سایر شاخه‌های ریاضیات دارند. گاهی، به فراخور نیاز، نام دنباله تغییر می‌یابد، به عنوان مثال در نظریه تحلیلی اعداد، به دنباله‌ها، تابع حسابی می‌گویند.

در ادامه بعد از بررسی الگوهای خظی و غیر خظی انواع دنباله را بررسی می کنیم.

1- الگوهای خطی

فرمول جمله عمومی دنباله الگوهای خطی t= an + b است که a مقدار ثابتی است که میزان افزایش یا کاهش اعداد در دنباله را مشخص می کند.

مثلا در دنباله …,۸,۵,۲,۱

برای یافتن جمله n ام، می بینیم در هر مرحله سه واحد از اعداد کم شده است. هنگامی که در تمام مراحل یک عدد کم یا زیاد می شود، دنباله حسابی و الگوی آن خطی است.

دنباله‌های حسابی

یک «دنباله (تصاعد) حسابی (عددی)» (Arithmetic Sequence) از جمع عددی ثابت در هر مرحله به‌دست می‌آید. این عدد ثابت می‌تواند از مجموعه اعداد حقیقی انتخاب شود. به عبارت دیگر :دنباله حسابی (عددی): دنباله ای است که به جز جمله اول آن، هر جمله اش برابر است با جمله قبلی آن به اضافه یک مقدار ثابت. این مقدار ثابت را قدر نسبت دنباله نامیده با d نشان میدهیم به عبارت دیگر دنباله ی حسابی دنباله ای است که تفاضل هر دو جمله متوالی آن مقدار ثابتی است. 

دنباله ی حسابی:          an=a+(n-1)d


مثال برای دنباله حسابی

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, …

در این دنباله، اختلاف هر دو عدد متوالی برابر با ۳ است. در واقع هر عدد این دنباله به اندازه ۳ واحد از عدد قبلی خود بیشتر و به اندازه ۳ واحد از عدد بعدی خود کمتر است. این الگو با اضافه کردن 3، هر بار به آخرین عدد دنباله ادامه می‌یابد.

2- الگوهای غیر خطی

الگوی خطی فرمی از تغییر جمله‌های دنباله است که مقدار ثابتی در هر مرحله به آن اضافه می‌شود و جمله جدیدی به دست می‌آید. این مقدار اضافه شده می‌تواند منفی یا صفر هم باشد. در واقع نقطه‌های آن در امتداد یک خط قرار می‌گیرند.

جمله عمومی دنباله درجه دو به صورت  an2+bn+c  است. درجه به بیشترین توان موجود در عبارت گفته می شود.

به عنوان مثال، برای یافتن جمله n ام در دنباله زیر:

   …,۴,۱۳,۲۶,۴۳

شروع به بررسی می کنیم که اعداد دنباله در ابتدا با افزایش مقدار ۹، سپس ۱۳ و جمله بعدی هم با جمع با عدد ۱۷ شکل گرفته است.

می بینیم که در هر مرحله عدد یکسانی اضافه یا کم نشده است، پس در نتیجه این الگو غیرخطی است. پس به بررسی اعداد در مرحله دوم، یعنی به ارتباط بین اعداد ۹, ۱۳, ۱۷ می پردازیم و عدد ثابت ۴ را می یابیم که در هرمرحله اضافه شده و عدد بعدی را شکل داده است.

تست : در الگوی خطی زیر جمله چهارم چیست؟

۱) ۹ ۲) ۲۷ ۳) ۷ ۴) ۸۱

نکته: الگوی خطی یعنی مقادیر جملات با هم فاصله ثابت دارند نه اینکه توان‌ها با هم فاصله ثابت داشته باشند.

روش حل: در این مثال سه به توان صفر برابر می‌شود با یک و سه به توان ۱ برابر است با سه. از یک به سه ۲ تا اضافه شده است. حالا جمله چهارم را می‌خواهیم و باید به همین شکل ادامه بدهیم. پس جواب ۷ می‌شود.

جواب تست: گزینه ۳

دنباله‌های هندسی

یکی دیگر از دنباله‌های متداول عددی، دنباله هندسی است که آن را تصاعد هندسی نیز می‌نامند. یک دنباله هندسی با ضرب یک عدد در هر مرحله تشکیل می‌شود. این موضوع در مثال زیر به صورت کامل بررسی شده است. به عبارت دیگر  دنباله ی هندسی، مجموعه ای از اعداد است که نسبت بین هر دو جمله ی متوالی آن مقداری یکسان است.(q)
دنباله ی هندسی:          an=a.qn-1         

مثال برای دنباله هندسی

1, 3, 9, 27, 81, 243, …

با دقت به دنباله بالا متوجه می‌شویم که این دنباله، یک ضریب 3 بین هر دو عدد متوالی خود دارد. در واقع اگر هر عدد این دنباله را در ۳ ضرب کنیم، عدد بعدی به‌دست می‌آید.