دانلود نمونه سوالات ریاضی دبیرستان مجموعه اعداد – ریاضی 20

» مجموعه اعداد

خانه » آموزش ریاضی دهم » مجموعه اعداد

مجموعه اعداد

عَدَد یا یکی از مفاهیم پایه ریاضیات است. در آغاز عدد برای شمارش و اندازه گیری بکار میرفت ولی بعدها ریاضیدانان مفهوم آن را توسعه دادند و مفهوم عدد صفر و عدد منفی و عدد موهومی و عدد مختلط را ابداع کردند.
عدد را نباید با رقم اشتباه کرد. رقم نشانه ای است که برای نوشتن عدد بکار میرود.

انواع اعداد:

  • اعداد طبیعی
  • اعداد حسابی
  • اعداد صحیح
  • اعداد گویا
  • اعداد حقیقی
  • اعداد مختلط
  • اعداد اول
  • اعداد جبری

اعداد طبیعی

اعدادی هستند که برای شمردن به کار میروند. مجموعه اعداد طبیعی {… ,۳ ,۲ ,۱} است.
در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود میآید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است.
در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با نماد N نمایش میدهند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای طبیعی، گرفته شده است.

 اعداد حسابی

همان اعداد طبیعی هستند که صفر هم به آنها اضافه شده است
مجموعه اعداد طبیعی {… ,۳ ,۲ ,۱} است. در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی- {… ,۳ ,۲ ,۱ ,0} – به وجود میآید. و با حرف W نشان داده می شود

 اعداد صحیح

به مجموعهٔ اعداد طبیعی مثبت، اعداد طبیعی منفی، و عدد صفر گفته میشود. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z یا (ابتدای کلمه آلمانیZahlenبه معنی اعداد) نشان میدهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعهٔ شمارای نامتناهیست.
شاخه ای از ریاضیّات که به مطالعهٔ اعداد صحیح میپردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد.

خواص جبری

همانند اعداد طبیعی، Z نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحیح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به Z تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اما Z تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوما عددی صحیح نخواهد بود.

برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد صحیح دلخواه هستند

جمع ضرب

بسته بودن: a + b یک عدد صحیح است a × b یک عدد صحیح است
شرکت پذیری: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
تعویض پذیری: a + b = b + a a × b = b × a
وجود یک عنصر واحد: a + 0 = a a × 1 = a
وجود یک عنصر عکس: a + (−a) = 0
توزیع پذیری: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
نداشتن مقسوم علیههای صفر: اگرab = 0، آنگاه a = 0 یا b = 0

مطابق بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت پذیری و جابه جایی (یا تعویض پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.

در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان میدهد که مجموعهٔ Z به همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا که نسبتZ به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمیسازد.

مجموعهٔ ویژگیهای ذکر شده حاکی از این است که ، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است، امّا، به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچکترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر میگیرد.

اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است. یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دلخواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعه اعداد صحیح وجود دارد، به طوریکه: a = q.b + r که در این جا، q خارج قسمت و r باقیمانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل میدهد.
همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، یک دامنه اقلیدسی است و در نتیجه دامنه ایدهآل اصلی میباشد و هر عدد طبیعی بزرگتر از یک را میتوان به طور یکتا به حاصلضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب.)

اعداد گویا

حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر یکدیگرست، به شرطی که عدد دوّم (مقسوم علیه) صفر نباشد. به بیان دیگر، هر عدد گویا را میتوان به شکل a/b یا آ بیم نوشت که a و b اعداد صحیح اند.
در ریاضیات، مجموعه اعداد گویا را، عموماً، با Q نمایش میدهند. به عنوان مجموعهای شمارا (یا قابل شمارش)، ولی نامتناهی، مجموعهٔ اعداد گویا، خود، زیرمجموعهایست چگال (dense) از مجموعهٔ بزرگتر و عمومیتر اعداد حقیقی.
به عنوان یک اشتباه نسبتاً رائج، گاهی اعداد کسری را با اعداد گویا یکی میدانند. این در حالیست که، اعداد گویا فقط کسرهایی هستند که از تقسیم دو عدد صحیح حاصلآمده باشد. به عنوان نمونه، نسبت رادیکال سه دوم کسر هست، ولی، گویا نیست.

 اعداد حقیقی

خود این مجموعه شامل همه مجموعه های دیگر است
یعنی همه مجموعه هایی که در بالا گفته شد زیر مجموعه این مجموعه هستند.
این مجموعه را با نماد Rنمایش می دهیم.{همه مجموعه های دیگر}=R

اعداد مختلط


اعداد حقیقی را میتوان با اضافه کردن عدد موهومی بسط داد. اعدادی به فرم a + bi که در آن a و b هر دو عدد حقیقی هستند را اعداد مختلط مینامند. عددی به فرم a + bi است که در آن a و b از اعداد حقیقی و i عدد موهومی برابر با ریشهٔ دوم عدد ۱- است.
نکته:این اعداد همچون سایر مجموعه اعداد دارای خواصص توزیع پذیری،شرکت پذیری و جابجایی نیز هست.

اعداد اول

اعدادی طبیعی هستند که بر هیچ عددی بجز خودشان و عدد ۱ بخشپذیر نباشند. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمیگیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگتر از ۱اول نباشد مرکب است.
عدد یکان اعداد اول بزرگتر از ۱۰ فقط ممکن است اعداد ۱، ۳، ۷، ۹باشد.
اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها به دست نیاورده است.
سری اعداد اول به این صورت شروع میشود: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹ …

قضیه ۱: تعداد اعداد اول بینهایت است.
برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است اثبات میکنیم: فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد. حال عدد M را که برابر حاصلضرب این اعداد به علاوه ۱ را در نظر بگیرید. این عدد مقسومعلیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است.

قضیه ۲ (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگتر از ۱ را به شکل حاصلضرب اعدادی اول نوشت.

قضیه ۳ (قضیه چپیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از ۳ باشد، حتما” بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد. قضیه ۴ هر عدد زوج را میتوان بصورت جمع سه عدد اول نوشت.

قضیه ۵ هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را میتوان به صورت جمع سه عدد اول نوشت (اثبات بر پایه قضیه ۴)

قضیه 6-هر عدد فرد را میتوان به صورت دو برابر یک عدد اول بعلاوه یک عدد اول دیگر نوشت.

خواص اعداد اول:
1- هر عدد اول برابر است با 6n+1 یا 6n-1 که n یک عدد صحیح است.
2-مجذور هر عدد اول برابر است با 24n+1.
3-تفاضل مجذورهای دو عدد اول مضربی از 24 است.
4-حاصلضرب هر دو عدد اول بجز 2و3 مضربی از 6 بعلاوه یا منهای یک است.
توان چهارم هر عدد اول بجز 2و3 مضربی از 240 بعلاوه یک است.

بزرگترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان  ۳۰میلیون و  ۴۰۲هزار و۴۵۷منهای یک است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر 2 به توان n منهای یک است.

اعداد جبری

در ریاضیات اعدادی هستند که جواب معادلهای به شکل زیر باشند:

anxn + an−1xn−1 + ··· + a1x + a0 = 0

ضریبهای a0 تا an در این معادله چند جملهای اعداد گویا هستند.
تمام اعداد گویا اعداد جبری هم هستند. بعضی از اعداد حقیقی عدد جبری نیستند. عددی که جبری نباشد عدد متعالی (یا غیرجبری) نامیده میشود.